En este artículo se propone una solución al llamado “problema del ladrillo entero”. Dicha solución consiste en una demostración de que no existe un ortoedro tal que sus 12 aristas y sus 16 diagonales tengan todas dimensiones correspondientes a números enteros primos entre sí, cuando éstos no son iguales.

El “problema del ladrillo entero” consiste en encontrar las dimensiones enteras de un ortoedro (incluidas las tres espaciales y las de todas sus diagonales), o bien en demostrar que no existe un ortoedro en el que los segmentos (aristas y diagonales) que unen dos vértices cualesquiera, contiguos o no, tienen todos dimensiones correspondientes a números enteros.

Clifford A. Pickover, en La maravilla de los números (Biblioteca Desafíos Matemáticos, 2007; traducción de Wonders of Numbers), en las páginas 169 y 170, dice textualmente:

El doctor Googol y Mr. Clinton trataron también el interesante problema general de hallar triángulos pitagóricos con valores enteros de los lados. Una tarea relacionada pero endiabladamente más difícil es la de explorar soluciones del “problema del ladrillo entero”, en el que se debe encontrar las dimensiones de un ladrillo tal que la distancia entre dos cualesquiera vértices sea un entero. Dicho de otro modo, se han de hallar valores enteros para a, b y c (que representan las longitudes de los lados del ladrillo) que produzcan valores enteros para las diversas diagonales de cada lado: d, e y f. Además, la diagonal de 3 dimensiones que se extienden a lo largo del ladrillo debe ser también un entero.

Esto significa que las siguientes ecuaciones han de tener una solución en números enteros:

a2 + b2 = d2

a2 + c2 = e2

b2 + c2 = f2

a2 + b2 + c2 = g2

Fig. 1

No se ha encontrado ninguna solución, aunque los matemáticos no han sido capaces de demostrar que no exista ninguna. Se han hallado muchas con 1 lado no entero solamente.

Hasta aquí la cita de Pickover.

Partimos de las siguientes definiciones:

• Número par: todo número entero divisible por 2, incluido el 0. (O también: todo número entero módulo 2 [mod2zp = 0]; todo z múltiplo de 2 lo representamos por 2n.).

• Número impar: todo número entero no divisible por 2. (O también: todo número entero módulo 2 [mod2zi = 1]; todo z múltiplo de 2 más 1; lo representamos por 2n + 1.)

• El conjunto Z de los números enteros tiene dos subconjuntos disjuntos complementarios, Zi (números enteros impares) y Zp (números enteros pares), tales que Zi U Zp = Z, y Zi ∩ Zp = Ø; de tal modo que un elemento z perteneciente al conjunto Z no puede pertenecer a los dos subconjuntos Zi y Zp. Es, por definición, imposible que un elemento de Z sea par e impar a la vez.

• Ternas pitagóricas: son los conjuntos formados por tres números enteros (h, c1, c2), tales que cumplen el teorema de Pitágoras: h2 = c12 + c22, donde h es la hipotenusa, y c1 y c2 los catetos de un triángulo rectángulo.

Fig. 2

     Cualquier terna pitagórica (h, c1, c2) puede originar infinitas ternas pitagóricas: si los tres términos los multiplicamos por un número natural n, la terna resultante será a su vez una terna que también cumple el teorema de Pitágoras:

n2 · h2 =  n2 · c12  + n2 · c22;

n2 · h2 = n2 · (c12 + c22); y, simplificando:

h2 = c12 + c22.

• Terna pitagórica original (TPO): la definimos como la terna formada por los valores enteros de los tres lados de un triángulo rectángulo, cuando los tres números son primos entre sí, es decir, si no tienen ningún divisor común distinto del 1.
  A partir de las definiciones anteriores, en un triángulo rectángulo, teniendo en cuenta la posibilidad de que los lados sean pares o impares, se pueden dar los siguientes casos:

Caso 1: hp, c1p, c2p
Caso 2: hi,  c1p, c2p
Caso 3: hp, c1i, c2p
Caso 4: hp, c1p, c2i
Caso 5: hi, c1i, c2i
Caso 6: hp, c1i, c2i
Caso 7: hi, c1i, c2p
Caso 8: hi, c1p, c2i,

donde hp significa hipotenusa par; hi, hipotenusa impar; c1p, cateto uno par; c1i, cateto uno impar; c2p, cateto dos par, y c2i, cateto dos impar.

Caso 1 (hp, c1p, c2p). El caso 1 no pertenece al conjunto de las ternas pitagóricas originales, ya que al ser los tres lados pares, no son primos entre sí, y al simplificar por 2 el número de veces necesario llegaremos a uno de los siete casos restantes.

Caso 2 (hi, c1p, c2p). Es imposible, ya que la suma de dos pares no puede dar como resultado un impar: (2nh + 1)2 ≠ (2nc1)2 + (2nc2)2. Es decir, la igualdad no se cumple para ningún valor entero de nh, nc1 y nc2.

Caso 3 (hp, c1i, c2p). Es imposible, ya que la suma de un par y un impar es siempre un impar.

Caso 4 (hp, c1p, c2i). Es imposible, por la misma razón que la apuntada en el caso 3.

Caso 5 (hi, c1i, c2i). Es imposible, ya que: a) el cuadrado de un impar es siempre un impar, y b) la suma de dos impares es siempre un par.

Caso 6 (hp, c1i, c2i). Tampoco es posible, ya que: a) el cuadrado de un par es siempre múltiplo de 4, mientras que b) la suma de los cuadrados de dos impares es siempre un múltiplo de 2; y, por tanto, c) al simplificar la igualdad por 2, resultaría que un par es igual a un impar. Lo cual es absurdo.

Caso 7 (hi, c1i, c2p). Este caso sí es posible: la suma de un impar y un par es siempre un impar.

Caso 8 (hi, c1p, c2i). Este caso, similar al anterior, también es posible.

En todo triángulo rectángulo en el que las dimensiones de sus lados correspondan a números enteros y primos entre sí, la hipotenusa ha de ser un número impar y los catetos han de ser uno impar y el otro par. O, dicho de otra manera, en toda terna pitagórica original la hipotenusa es un número impar, y los catetos, si uno es par, el otro es impar.

No existe un ortoedro tal que sus 12 aristas y sus 16 diagonales tengan todas dimensiones correspondientes a números enteros primos entre sí, cuando éstos no son iguales.

Sea el ortoedro de la figura 3, formado por 12 aristas y 16 diagonales:

12 aristas:
AD = BC = FG = EH.
AB = DC = EF = HG.
AH = BG = FC = ED.

16 diagonales:
Cuatro internas o espaciales:
AF = BE = DG = CH.
Doce correspondientes dos a dos a cada una de las caras del ortoedro:
AC = DB = EG = FH; AG = BH = DF = EC; AE = DH = CG = FB.

Fig. 3

En virtud de la Conclusión anterior, todas las diagonales del ortoedro, si son números enteros, tendrán que ser impares al ser hipotenusas de un triángulo rectángulo.

Tomemos, por ejemplo, el vértice D y los tres triángulos formados por las aristas que intersectan en D y las tres diagonales opuestas a este punto (CA, CE y AE); es decir, los triángulos: DCA, DCE y DAE. Pueden ocurrir dos casos:

• Caso 1. Que la arista AD sea un número entero par. Esto implica, en virtud de la Conclusión, que tanto la arista DC como la arista DE deberán ser números enteros impares. Ahora bien, también en virtud de la Conclusión, resulta que DC y DE no pueden ser los dos impares, ya que al ser los catetos del triángulo rectángulo DCE, uno habrá de ser par y el otro impar. Lo cual es contradictorio.

• Caso 2. Que la arista AD sea un número entero impar. Esto implica que tanto la arista DC como DE deberán ser números enteros pares. Ahora bien, DC y DE no pueden ser los dos pares, puesto que al ser los catetos del triángulo rectángulo DCE, uno habrá de ser par y el otro impar. Lo cual es igualmente contradictorio.

Y lo mismo se cumple para los siete vértices restantes.

En conclusión: no existe un ortoedro tal que sus 12 aristas y sus 16 diagonales tengan todas dimensiones correspondientes a números enteros primos entre sí, cuando éstos no son iguales.

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Miguel Martos Fernández